Николай Чувахин (nc@iname.com)

Математические этюды
для начинающих экономистов

Несколько ранее (см. раздел "Основные понятия и определения") мы рассматривали вопрос о том, является ли экономика точной или гуманитарной наукой. Тогда мы ограничились простой констатацией факта: экономика – наука гибридная. О гуманитарной стороне экономики мы, похоже, поговорили достаточно. Теперь пришла пора узнать кое-что о математическом аппарате экономической теории.

Раздел "Математические этюды для начинающих экономистов" рассчитан на людей, обладающих знанием математики в объеме неполной средней школы. Практически все, что Вам понадобится – это простейшее представление о функциях. Давайте-ка, кстати, освежим наши знания о функциях.

Функция – это зависимость одной величины (зависимой переменной) от другой (независимой переменнной). Многие понятия экономической теории при ближайшем рассмотрении оказываются функциями. Спрос, например, представляет собой зависимость величины спроса от цены. Другими словами, величина спроса есть функция цены или, если записать это математически, QD=f(P).

Из раздела "Основные понятия и определения" мы уже знаем кое-что о предельности, или о привычке экономистов всегда выяснять, что происходит с зависимой переменной при небольшом изменении независимой переменной. Предельный анализ обычно проводят с помощью производных. О них – наш первый этюд.

Этюд 1
Производная

Производная показывает, как изменяется зависимая переменная при изменении независимой. Если, например, производная некоторой функции равна 2, это означает, что при изменении независимой переменной на некоторую величину зависимая изменится на величину в два раза большую.

Проще всего отыскать производную линейной функции. В самом деле, линейная функция имеет вид y = ax + b, где x – независимая переменная, y – зависимая переменная, а a и b – постоянные величины (константы). А значит, на сколько бы не менялся x, y всегда будет меняться на величину, в a раз большую. Раз так, величина a и будет значением производной.

Это очень легко увидеть на графике:

При изменении независимой переменной x на некоторую величину /\x (читается "дельта икс") зависимая переменная y изменяется на величину /\y (читается "дельта игрек"). Где бы не располагался интервал /\x, величина /\y всегда будет одной и той же. При этом будет выдерживаться равенство:

a = /\y
     
/\x
= y'

Обратите внимание: производная функции y обозначается y' (читается "игрек-штрих").

Несколько сложнее дело обстоит с нелинейными функциями: их производная все время меняется. Производную криволинейной функции можно определить только в конкретной точке. Для того, чтобы определить ее графически, нужно провести касательную к графику функции:

Обратите внимание: наклон касательной в точке A намного меньше, чем в точке B. Значит, и производная в точке A меньше, чем в точке B. Но если производная меняется в зависимости от значения независимой переменной, это значит, что производная – тоже функция!

В случае криволинейной функции наклон касательной совпадает с наклоном функции только в одной точке – точке касания. Значит, непосредственно вычислить производную криволинейной функции в какой-либо точке можно только по очень небольшим (точнее, сказать, исчезающе малым) изменениям переменных вокруг этой точки. В математике такие изменения называются дифференциалами и обозначаются не греческой буквой "дельта" (/\), как обыкновенные изменения, а латинской d. Таким образом, производная – это просто отношение дифференциалов зависимой и независимой переменных:

y' = dy
     
dx

Такую запись принято читать как "игрек-штрих равно дэ-игрек по дэ-икс". Смысл такой записи состоит в том, что мы изменяем независимую переменную x на некоторую очень малую величину dx, затем определяем, на какую величину dy изменилась зависимая переменная y, и делим эти изменения одно на другое точно так же, как несколько раньше поступали с более крупными изменениями, полученными при анализе касательных.

Если нам известна исходная функция, мы можем отыскать по ней ее производную. В алгебре существует достаточно много правил отыскания производных, или дифференцирования. Нам пока понадобятся только самые простые.

Правило константы. Производная константы равна нулю:

y = C => y' = 0

Правило суммы. Производная суммы равна сумме производных:

y = u(x) + v(x) => y' = u'(x) + v'(x)

Правило степени. Производная степени находится по формуле:

y = Cxn => y' = Cnxn-1

Теперь мы вполне можем находить производные степенных функций. Возьмем, например, вот такую функцию:

y = x2 + 3x - 10

Найти ее производную, зная три простых правила, совсем несложно:

y' = 2x2-1 + 3x1-1 - 0 = 2x1 + 3x0 = 2x + 3

Обратите внимание: переменная без показателя степени – это переменная в первой степени (x = x1), а переменная в нулевой степени – это единица (x0 = 1). Если Вы хорошо помните школьную математику, то, несомненно, знаете, что это верно не только для переменных, но и вообще для любых чисел.

Между функцией и ее производной существует много очень интересных соотношений. Мы начали наш разговор о производных с простого определения: производная показывает, как изменяется зависимая переменная при изменении независимой. Отсюда следует, что по знаку производной можно судить о направлении изменения функции: если производная положительна, функция растет, если производная отрицательна, функция убывает. Если производная равна нулю, то функция не растет, но и не убывает. В случае нелинейной функции это означает, что в точке, где производная равна нулю, функция имеет минимум или максимум (математики часто говорят "экстремум" вместо "минимум или максимум").

Чтобы посмотреть, как это может выглядеть на практике, рассмотрим функцию y = x2 + 3x - 10, для которой мы только что нашли производную:

В точке x = -1.5, где функция имеет минимум, производная равна нулю. При x < -1.5 производная отрицательна, а функция убывает. При x > -1.5 производная положительна, а функция растет.

В экономике исходные функции часто называют "полными", а их производные – "предельными". Например, производную функции полной полезности называют предельной полезностью, а производную функции полных издержек – предельными издержками.

Этюд 2
Эластичность

В отличие от производной, которая широко используется в самых разных научных дисциплинах, эластичность практически не выходит за пределы экономики. Именно поэтому ее знают гораздо хуже и, более того, часто путают с производной. Как мы увидим ниже, эластичность связана с производной, но не более. Так что заведите себе правило: собравшись посчитать эластичность, назначьте производной свидание в Сочи и поезжайте считать эластичность в Мурманск. К тому времени, когда Вам понадобится производная, она найдет Вас сама.

Начнем с определения:

Эластичность есть мера изменения зависимой переменной в ответ на изменение независимой переменной.

На первый взгляд, определение практически тождественно определению производной. Есть однако, одно очень важное отличие. Производная показывает, соотношение между тем, на какую величину изменились зависимая и независимая переменная. Эластичность же показывает соотношение между тем, во сколько раз (или на сколько процентов) изменились зависимая и независимая переменная.

Теперь займемся собственно математикой. Допустим, у нас имеется некоторая функция Q=f(P). Как же в общем случае отыскать ее эластичность?

Для удобства записи нам понадобится условное обозначение термина "процентное изменение величины". Договоримся, что для этой цели мы будем использовать последовательнось символов "%/\". Таким образом, "процентное изменение независимой переменной P" будет обозначаться %/\P, а "процентное изменение зависимой переменной Q" – %/\Q.

Обозначив эластичность буквой e, в соответствии с определением можно записать:

e = %/\Q
         
%/\P

Дело за малым – решить, как вычислять процентные изменения. Допустим, мы хотим вычислить процентное изменение в случае, когда переменная P изменила значение с P0=40 на P1=50:

%/\P = P1 - P0
        
P0
= 50 - 40
         
40
= 0.25

или 25%. Если теперь рассчитать процентное изменение в обратном направлении, с P0=50 на P1=40,

%/\P = P1 - P0
        
P0
= 40 - 50
         
50
= -(0.2)

получится несколько другая величина (-20%). Со знаком "минус" ничего не поделаешь – он показывает, что во втором случае произошло уменьшение переменной, а не ее увеличение, как в первом. Но разница по абсолютной величине – вещь достаточно неудобная. Поэтому существует договоренность – при расчете эластичности считать процентные изменения не от начальной, а от средней точки интервала изменения. Иначе говоря, принята вот такая формула для расчета:

P1 - P0
%/\P =              
P1 + P0
         
2

Теперь, в каком бы направлении не происходило изменение между значениями 40 и 50, мы получим результат 0.222..., или 22.222...%, с соответствующим знаком.

Предположим теперь, что значения P0 и P1 находятся очень близко друг к другу, настолько близко, что невооруженным глазом воспринимаются как одно значение P. Тогда среднюю точку интервала можно просто обозначить как P, а исчезающе малая разница между P0 и P1 оказывается дифференциалом dP, с которым мы познакомились при изучении производной.

Теперь формула для процентного изменения стала более простой, но менее понятной:

%/\P = dP
      
P

Проведя аналогичные рассуждения для переменной Q, можно записать:

%/\Q = dQ
      
Q

Теперь можно подставить все это формулу эластичности:

e = %/\Q
        
%/\P
= dQ P
       
Q dP
= P
    
Q
dQ
     
dP

Обратите внимание: второй множитель в полученной нами формуле – это производная функции Q=f(P).

Эластичность широко используется при анализе спроса и предложения. В зависимости от абсолютного значения, эластичность спроса или предложения может иметь то или иное словесное описание. Существует всего пять возможных словесных описаний эластичности:

Если абсолютное значение эластичности... ...то говорят, что спрос или предложение...
|e| = Ґ Абсолютно эластичный
|e| > 1 Относительно эластичный
|e| = 1 Имеет единичную эластичность
|e| < 1 Относительно неэластичный
|e| = 0 Абсолютно неэластичный

На практике часто приходится слышать выражения типа "эластичный спрос" или "неэластичное предложение". Строго говоря, такое использование терминов нельзя считать правильным, но в последнее время оно становится приемлемым. Скорее всего, это происходит потому, что в реальном мире большинство функций спроса и предложения либо относительно эластичны, либо относительно неэластичны. Так что слово "относительно" все время опускается, хотя это и не совсем корректно.

На практике очень важно уметь определять эластичность прямых линий (если научиться это делать, можно определять и эластичность кривых – достаточно только провести к кривой касательную и определить эластичность этой касательной). Чаще всего приходится иметь дело с эластичностью спроса и предложения. И здесь нас поджидает одна трудность. Дело в том, что Альфред Маршалл по неведомым нам причинам нарушил принятое в математике соглашение и поместил независимую переменную – цену – на вертикальную ось.

Начнем с наиболее очевидных случаев: вертикальной и горизонтальной линий (помните: независимая переменная отложена по вертикальной оси):

Линия, параллельная оси независимой переменной (в нашем случае – вертикальная), абсолютно неэластична, поскольку изменение независимой переменной P не приводит к изменению зависимой переменной Q. И наоборот, линия, параллельная оси зависимой переменной (в нашем случае – горизонтальная), абсолютно эластична, поскольку исчезающе малое изменение независимой переменной P приводит к неопределенно большому изменению зависимой переменной Q.

Рассмотрим теперь прямые линии с положительной производной:

Линия, пересекающая ось независимой переменной (на нашем рисунке – красная), относительно эластична. Линия, проходящая через начало координат (на нашем рисунке – синяя), имеет единичную эластичность. И, наконец, линия, пересекающая ось зависимой переменной (на нашем рисунке – зеленая), относительно неэластична. Попробуйте разобраться сами, из чего это следует. Логика все та же: проверяйте, как соотносятся изменения независимой и зависимой переменных.

Несколько более серьезный случай – прямая линия с отрицательной производной. Как мы увидим ниже, такая линия имеет переменную эластичность:

Поблизости от оси независимой переменной такая линия относительно эластична (небольшое изменение независимой переменной вызывает весьма значительное изменение зависимой). Поблизости от оси зависимой переменной такая линия относительно неэластична (для того, чтобы вызвать небольшое изменение зависимой переменной, необходимо значительное изменение независимой). И, наконец, в средней точке линия имеет единичную эластичность.

Теперь мы знаем о математике достаточно, чтобы вплотную заняться собственно микроэкономикой.


[ Страничка Николая Чувахина | Экономическая теория ]